Barisan dan Deret Geometri

1.      Barisan Geometri

Secara formal, Barisan geometri didefinisikan sebagai berikut : Barisan geometri adalah suatu barisan yang memiliki rasio (pembanding)    tiap dua suku yang berurutan selalu sama (konstan).

a.      Rumus Suku ke-n

Bentuk umum suku ke-n Barisan geometri adalah :

  U_n = ar ^{n -1}

dengan 

U_n  = besar suku ke-n

 a   = suku pertama

     r  =  rasio/pembanding

b.      Suku Tengah Barisan Geometri

  Barisan Geometri dengan suku tengah U_t dirumuskan :

              

              dengan :        

              U_t  = Suku tengah       

               a  = suku pertama     

              U_n = suku terakhir

a.      Sisipan pada Barisan Geometri

Pada barisan geometri : a, …. , a.r^{n – 1}  akan disisipkan k bilangan sehingga membentuk barisan geometri yang baru, diperoleh rasio yang baru :

          

Dengan :

          r  = rasio barisan lama

          n  = banyaknya suku barisan lama

          r’  = rasio barisan baru                             

          n’ = banyaknya suku barisan baru

          k  = banyaknya bilangan yang disisipkan

2.  Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan geometri. Bentuk umum jumlah n suku pertama deret geometri dituliskan sebagai berikut :

Berlaku juga rumus U_{n   =}  S_n – S_{n – 1}

3.   Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak berhingga (konvergen) adalah a + ar + ar² + ar³ + …. Dan rumus jumlah tak berhingga nya adalah :

             Dengan :

a          = suku pertama

r           = rasio

S_~       = Jumlah tak hingga

Contoh Soal Dan Pembahasan :

1.   Dari barisan geometri dengan suku-suku positif, diketahui suku ke-3 adalah 4, dan besarnya suku ke-9 adalah 256,  besarnya suku ke-12 adalah ....

A.      2048               D. 2056

B.      2050               E. 2062

C.      2054         

jawaban    :  A

2.      Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah ….

                A.    368                   D. 379

B.    369                   E. 384

C.    378

 (UN 2008 P45)

Jawaban : C

Diketahui :

suku pertama = a = 6

suku keempat = U₄ = ar³ = 48

6.r³  = 48

   r³  = 8 maka r = 2

Jumlah 6 suku pertama = S₆

   

3.      Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ….

A.      65 m               D. 77 m

B.      70 m               E. 80 m

C.      75 m

(UN 2006)

Jawaban : B

Soal diatas merupakan permasalahan deret geometri tak hingga, dari soal diatas diperoleh :