Contoh Kasus
- Seorang pengrajin menghasilkan satu tipe meja dan satu tipe kursi. Proses yang dikerjakan hanya merakit meja dan kursi. Dibutuhkan waktu 2 jam untuk merakit 1 unit meja dan 30 menit untuk merakit 1 unit kursi. Perakitan dilakukan oleh 4 orang karyawan dengan waktu kerja 8 jam perhari. Pelanggan pada umumnya membeli paling banyak 4 kursi untuk 1 meja. Oleh karena itu pengrajin harus memproduksi kursi paling banyak empat kali jumlah meja. Harga jual per unit meja adalah Rp 1,2 juta dan per unit kursi adalah Rp 500 ribu.
Formulasikan kasus tersebut ke dalam model
matematiknya !
Solusi :
Hal pertama yang harus
dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya
yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang
ingin dicapai adalah memaksimumkan
pendapatan. Alternatif keputusan adalah jumlah meja dan kursi yang akan diproduksi. Sumber daya yang
membatasi adalah waktu kerja karyawan dan perbandingan jumlah kursi dan meja yang
harus diproduksi (pangsa pasar ).
Langkah berikutnya adalah
memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepastian.
Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon, sehingga harga
jual per meja maupun kursi akan sama meskipun jumlah yang dibeli semakin
banyak. Hal ini mengisyaratkan bahwa total
pendapatan yang diperoleh pengrajin proposional terhadap jumlah produk
yang terjual. Penggunaan sumber daya yang membatasi , dalam hal ini waktu kerja
karyawan dan pangsa pasar juga proporsional terhadap jumlah meja dan kursi yang
diproduksi. Dengan demikian dapat
dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pendapatan pengrajin
merupakan jumlah pendapatan dari keseluruhan meja dan kursi yang terjual.
Penggunaan sumber daya ( waktu kerja karyawan dan pangsa pasar) merupakan
penjumlahan waktu yang digunakan untuk memproduksi meja dan kursi. Maka dapat
dinyatakan juga sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian
juga dipenuhi.
Ada dua variabel
keputusan dan dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan meru[pakan
maksimisasi, karena semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh
pengrajin. Fungsi kendala pertama (batasan waktu) menggunakan pertidaksamaan ≤,
karena waktu yang tersedia dapat digunakan sepenuhnya atau tidak, tapi tidak
mungkin melebihi waktu yang ada. Fungsi kendala yang kedua bisa menggunakan ≤
atau ≥ tergantung dari pendefinisianvariabelnya.
Kita definisikan :
x1 = jumlah meja yang akan diproduksi
x2 = jumlah kursi yang akan
diproduksi
Model umum Pemrograman Linier kasus di atas
adalah :
Fungsi tujuan :
Maksimumkan z = 1.2 x1 + 0.5 x2
Kendala :
2x1 + 0.5 x2 ≤ 32
x1/x2 ≥ ¼ atau 4x1≥
x2 atau 4x1 – x2 ≥ 0
x1 , x2 ≥ 0
- Seorang peternak memiliki 200 kambing yang mengkonsumsi 90 kg pakan khusus setiap harinya. Pakan tersebut disiapkan menggunakan campuran jagung dan bungkil kedelai dengan komposisi sebagai berikut :
Bahan
|
Kg per kg bahan
|
|||
Kalsium
|
Protein
|
Serat
|
Biaya (Rp/kg)
|
|
Jagung
|
0.001
|
0.09
|
0.02
|
2000
|
Bungkil kedelai
|
0.002
|
0.60
|
0.06
|
5500
|
Kebutuhan pakan kambing setiap harinya adalah
paling banyak 1% kalsium, paling sedikit 30% protein dan paling banyak 5%
serat.
Formulasikan permasalahan di atas kedalam model matematiknya !
Solusi :
Hal pertama yang
harus dilakukan adalah mengidentifikasi tujuan , alternative keputusan dan
sumber daya yang membatasi. Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal,
tujuan yang ingin dicapai adalah meminimumkan
biaya pembelian bahan pakan. Alternative keputusan adalah jumlah jagung dan bungkil kedelai yang
akan digunakan. Sumber daya yang membatasi adalah kandungan kalsium, protein dan serat pada jagung dan bungkil kedelai, serta
kebutuhan jumlah pakan per hari.
Langkah
berikutnya adalah memeriksa sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas
dan kepastian. Informasi di atas tidak menunjukkan adanya pemberian diskon,
sehingga harga pembelian jagung dan bungkil kedelai per kg tidak berbeda
meskipun pembelian dalam jumlah besar. Hal ini mengisyaratkan bahwa total biaya
yang harus dikeluarkan peternak proporsional
terhadap jumlah jagung dan
bungkil kedelai yang dibeli. Penggunaan sumber daya yang membatasi,
dalam hal ini komposisi jagung dan bungkil kedelai akan serat, protein dan
kalsium proporsional terhadap jumlah jagung dan bungkil. Dengan demikian dapat dinyatakan sifat proporsionalitas dipenuhi. Total pengeluaran pembelian bahan
pakan merupakan penjumlahan pengeluaran untuk jagung dan bungkil kedelai.
Jumlah masing-masing serat, protein dan
kalsium yang ada di pakan khusus
merupakan penjumlah serat, protein dan kalsium yang ada pada jagung dan bungkil
kedelai. Jumlah pakan khusus yang dihasilkan merupakan penjumlahan jagung dan
bungkil kedelai yang digunakan. Dengan
demikian sifat additivitas dipenuhi. Sifat divisibilitas dan kepastian juga
dipenuhi.
Ada
dua variabel keputusan dan empat sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan
merupakan minimisasi, karena semakin
kecil biaya akan semakin disukai oleh peternak. Fungsi kendala pertama (batasan
jumlah pakan yang dibutuhkan per hari) menggunakan persamaan (=), fungsi
kendala kedua (kebutuhan kalsium) dan kendala keempat (kebutuhan serat)
menggunakan pertidaksamaan ≤, dan fungsi kendala ketiga (kebutuhan akan
protein) menggunakan pertidaksamaan ≥.
Kita
definisikan :
x1
= jumlah jagung yang akan digunakan
x2
= jumlah bungkil kedelai yang akan digunakan
Model
umum Pemrograman linier kasus di atas oleh karenanya adalah :
Fungsi
tujuan : minimumkan z = 2000 x1 + 5500 x2
Kendala
:
x1
+ x2 = 90
0.001 x1 +
0.002 x2 ≤ 0.9
0.09 x1 +
0.6 x2 ≥ 27
0.02 x1 +
0.06 x2 ≤ 4.5
x1, x2
≥ 0
3. Suatu bank kecil mengalokasikan dana
maksimum Rp 180 juta untuk pinjaman pribadi dan pembelian mobil satu bulan kedepan. Bank mengenakan biaya suku bunga per tahun 14%
untuk pinjaman pribadi dan 12% untuk pinjaman pembelian mobil. Kedua tipe pinjaman itu dikembalikan
bersama dengan bunganya satu tahun kemudian. Jumlah pinjaman pembelian mobil
paling tidak dua kali lipat dibandingkan pinjaman pribadi. Pengalaman sebelumnya menunjukkan bahwa 1% pinjaman pribadi
merupakan kredit macet.
Formulasikan masalah di
atas kedalam bentuk model matematiknya
!
Solusi :
Hal pertama yang harus dilakukan adalah
mengidentifikasi tujuan, alternatif keputusan dan sumber daya yang membatasi.
Berdasarkan informasi yang diberikan pada soal, tujuan yang ingin dicapai
adalah memaksimumkan pendapatan bunga dan pengembalian pinjaman.
Alternatif keputusan adalah jumlah alokasi
pinjaman pribadi dan pinjaman mobil. Sumber daya yang membatasi adalah jumlah alokasi anggaran untuk kredit bulan
depan dan perbandingan antara jumlah kredit pribadi dan pembelian mobil.
Sifat proporsionalitas,
additivitas, divisibilitas dan kepastian dipenuhi.
Ada dua variabel keputusan
yaitu jumlah anggaran untuk pinjaman pribadi dan pinjaman pembelian mobil, dan
dua sumber daya yang membatasi. Fungsi tujuan merupakan maksimisasi , karena
semakin besar pendapatan akan semakin disukai oleh manajemen bank.
Kita definisikan :
x1 = jumlah
anggaran untuk pinjaman pribadi
x2 = jumlah
anggaran untuk pinjaman pembelian mobil.
Model umum Pemrograman
Linier kasus diatas adalah :
Fungsi tujuan : Maksimumkan
z = (0.14 – 0.01) x1 + 0.12 x2
Kendala :
x1 + x2
≤ 180
x2 ≥ 2x1
atau -2x1 + x2 ≥ 0
x1, x2 ≥ 0
4.
Suatu pabrik perakitan radio
menghasilkan dua tipe radio, yaitu HiFi-1 dan HiFi-2 pada fasilitas perakitan
yang sama. Lini perakitan terdiri dari 3 stasiun kerja. Waktu perakitan
masing-masing tipe pada masing-masing stasiun kerja adalah sebagai berikut :
Stasiun kerja
|
Waktu perakitan per unit (menit)
|
|
HiFi-1
|
HiFi-2
|
|
1
|
6
|
4
|
2
|
5
|
5
|
3
|
4
|
6
|
Waktu kerja masing-masing stasiun kerja
adalah 8 jam per hari. Masing-masing stasiun kerja membutuhkan perawatan harian
selama 10%, 14% dan 12% dari total waktu kerja (8 jam) secara berturut-turut
untuk stasiun kerja 1,2 dan 3.
Formulasikan
permasalahan ini kedalam model matematiknya !
Solusi :
Alternatif
keputusan adalah : radio tipe HiFi-1 (x1)
dan radio tipe HiFi-2 (x2).
Tujuannya
adalah memaksimumkan jumlah radio
HiFi-1 dan HiFi-2 yang diproduksi.
Sumber
daya pembatas adalah : jam kerja
masing-masing stasiun kerja dikurangi dengan waktu yang dibutuhkan untuk
perawatan.
Waktu
produktif masing-masing stasiun kerja oleh karenanya adalah :
Stasiun 1
: 480 menit – 48 menit = 432 menit
Stasiun 2
: 480 menit – 67.2 menit = 412.8 menit
Stasiun 3
: 480 menit – 57.6 menit = 422.4 menit.
Model
umum pemrograman linier :
Maksimumkan
z = x1 + x2
Kendala :
6x1
+ 4x2 ≤ 432
5x1
+ 5x2 ≤ 412.8
4x1
+ 6x2 ≤ 422.4
x1,
x2 ≥ 0
5.
Dua
produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing-masing mesin yang
digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per hari. Waktu
produksi dan keuntungan per unit masing-masing
produk ditunjukkan table di bawah ini :
Produk
|
Waktu produksi (menit)
|
|||
Mesin 1
|
Mesin 2
|
Mesin 3
|
Mesin 4
|
|
1
|
10
|
6
|
8
|
2
|
2
|
5
|
20
|
15
|
3
|
Formulasikan
permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !
Solusi :
Alternatif keputusan adalah
: produk 1 (x1) dan produk 2
(x2).
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan
Sumber daya pembatas adalah
: jam kerja masing-masing mesin.
Model umum pemrograman
linier :
Maksimumkan z = 2x1
+ 3x2
Kendala :
10 x1 + 5 x2
≤ 600
6 x1 + 20 x2
≤ 600
8 x1 + 15 x2
≤ 600
x1, x2 ≥
0
6.
Empat
produk diproses secara berurutan pada 2 mesin. Waktu
pemrosesan dalam jam per unit produk pada kedua mesin ditunjukkan table di
bawah ini :
Mesin
|
Waktu per unit (jam)
|
|||
Produk 1
|
Produk 2
|
Produk 3
|
Produk 4
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
2
|
2
|
3
|
2
|
1
|
2
|
Biaya total untuk memproduksi setiap unit produk didasarkan secara
langsung pada jam mesin. Asumsikan
biaya operasional per jam mesin 1 dan 2 secara berturut-turut adalah $10 dan $5. Waktu yang disediakan
untuk memproduksi keempat produk pada mesin 1 adalah 500 jam dan mesin 2 adalah
380 jam. Harga jual per unit keempat produk secara berturut-turut adalah $65,
$70, $55 dan $45. Formulasikan permasalahan di atas ke dalam model matematiknya !
Solusi :
Alternatif keputusan adalah : jumlah produk 1,2,3 dan 4 yang
dihasilkan.
Tujuannya adalah memaksimumkan keuntungan. Perhatikan, keuntungan
diperoleh dengan mengurangkan biaya dari pendapatan.
Keuntungan per unit dari produk 1 = 65 – (10x2 + 3x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 2 = 70 – (10x3 + 2x5) = 30
Keuntungan per unit dari produk 3 = 55 – (10x4 + 1x5) = 10
Keuntungan per unit dari produk 4 = 45 – (10x2 + 2x5) = 15
Sumber daya pembatas adalah waktu kerja yang disediakan kedua mesin.
Definisikan :
x1 : jumlah produk 1 yang
dihasilkan
x2 : jumlah produk 2 yang
dihasilkan
x3 : jumlah produk 3 yang
dihasilkan
x4 : jumlah produk 4 yang
dihasilkan
Model umum pemrograman linier :
Maksimumkan z = 30 x1 + 30x2 + 10 x3 + 15
x4
Kendala :
2x1 + 3 x2 + 4x3
+ 2x4 ≤ 500
3x1 + 2 x2 + x3
+ 2x4 ≤ 380
x1, x2,
x3 , x4 ≥
0
- Suatu perusahaan manufaktur menghentikan produksi salah satu produk yang tidak menguntungkan. Penghentian ini menghasilkan kapasitas produksi yang menganggur (berlebih). Kelebihan kapasitas produksi ini oleh manajemen sedang dipertimbangkan untuk dialokasikan ke salah satu atau ke semua produk yang dihasilkan (produk 1,2 dan 3). Kapasitas yang tersedia pada mesin yang mungkin akan membatasi output diringkaskan pada table berikut :
Tipe mesin
|
Waktu yang
dibutuhkan produk pada masing-masing mesin (jam)
|
Waktu yang tersedia (jam per minggu)
|
||
Produk 1
|
Produk 2
|
Produk 3
|
||
Mesin milling
|
9
|
3
|
5
|
500
|
Lathe
|
5
|
4
|
0
|
350
|
Grinder
|
3
|
0
|
2
|
150
|
Bagian penjualan mengindikasikan bahwa penjualan potensial untuk
produk 1 dan 2 tidak akan melebihi laju produksi maksimum dan penjualan
potensial untuk produk 3 adalah 20 unit per minggu. Keuntungan per unit masing-masing produk secara
berturut-turut adalah $50, $20 dan $25.
Formulasikan
permasalahan diatas kedalam model matematik !
Solusi :
Alternatif keputusan :
Jumlah produk 1 yang dihasilkan = x1
Jumlah produk 2 yang dihasilkan = x2
Jumlah produk 3 yang dihasilkan = x3
Tujuannya adalah : memaksimumkan
keuntungan
Sumber daya pembatas adalah :
Jam kerja mesin milling per minggu : 500
jam
Jam kerja mesin llathe per minggu : 350
jam
Jam kerja mesin grinder per minggu : 150
jam.
Model matematikanya adalah :
Maksimumkan z = 50 x1 + 20 x2 + 25 x3
Kendala :
9x1 + 3 x2 + 5x3
≤ 500
5x1 + 4 x2 ≤ 350
3x1 + 2x3 ≤ 150
x3 ≤ 20
x1, x2, x3 g ≥ 0
Posts
No comments:
Post a Comment