Soal OSK 2011 dan Pembahasannya

1.    Misalkan kita menuliskan semua bilangan bulat 1, 2, 3, ..., 2011. Berapa kali kita menuliskan angka 1 ?

Pembahasan :

Ada 4 kasus :

• Angka 1 sebagai ribuan. Dari bilangan 1 sampai 2011 banyaknya angka 1 sebagai ribuan ada sebanyak 1000 yaitu dari 1000 sampai 1999.
• Angka 1 sebagai ratusan. Banyaknya angka 1 sebagai ratusan dari bilangan 100 sampai dengan 199 ada sebanyak 100. Maka banyaknya angka 1 sebagai ratusan dari 1 sampai 2011 ada sebanyak 2 x 100 = 200.
•  Angka 1 sebagai puluhan. Banyaknya angka 1 sebagai puluhan dari bilangan 10 sampai dengan 19 ada sebanyak 10. Maka banyaknya angka 1 sebagai puluhan dari 1 sampai 2000 ada sebanyak 2  x 10  x 10 = 200. Banyaknya angka 1 sebagai puluhan dari 2001 sampai 2011 ada sebanyak 2. Jadi, banyaknya angka 1 sebagai puluhan dari 1 sampai 2011 ada sebanyak 202.
• Angka 1 sebagai satuan. Angka satuan berulang setiap kala ulang 10. Maka banyaknya angka 1 sebagai satuan dari 1 sampai dengan 2000 = 200. Banyaknya angka 1 sebagai satuan dari 2001 sampai 2011 ada sebanyak 2. Jadi, banyaknya angka 1 sebagai satuan dari 1 sampai 2011 ada sebanyak 202.

Maka, banyaknya angka 1 yang dituliskan ada sebanyak 1000 + 200 + 202 + 202 = 1604

2.    Sekelompok orang akan berjabat tangan. Setiap orang hanya dapat melakukan jabat tangan sekali. Tidak boleh melakukan jabat tangan dengan dirinya sendiri. Jika dalam sekelompok orang terdapat 190 jabat tangan, maka banyaknya orang dalam kelompok tersebut ada berapa?

Pembahasan :

Terdapat 2 orang pada setiap kali jabat tangan, misal jumlah orang seluruhnya adalah n orang maka banyaknya jabat tangan ada :

3.  Dalam suatu permainan, jika menang mendapat nilai 1 dan jika kalah mendapat nilai −1. Jika (a, b) menyatakan a putaran permainan dan b menyatakan total nilai seorang pemain, maka seluruh kemungkinan (a, b) pada putaran ke-20 adalah ..


Pembahasan :
Misalkan x menyatakan banyaknya jawaban benar. Jika x = 0 maka (a, b) = (20, −20)

Jika x = 1 maka (a, b) = (20, −18)
Jika x = 2 maka (a, b) = (20, −16) dst

Jika x = 20 maka (a, b) = (20, 20)

∴ Jadi, seluruh kemungkinan (a,b) pada putaran ke-20 adalah (20, −20 + 2x) dengan 0 ≤ x ≤20