BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Pengertian Barisan Bilangan dan Deret.

Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret..  Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan, setiap suku diberi nama sesuai dengan nomor urutnya.

Secara umum barisan bilangan dapat ditulis:

U₁, U₂, U₃, ……………, U_n.  dengan U_n sering disebut f(n) yang menyatakan suku ke-n,.

Sedangkan untuk deret bilangan dapat di tulis :

U_{1 +} U_{2  +} U_{3  +} ……+ U_n.

A. BARISAN ARITMETIKA

      Barisan Aritmetika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b, sedangkan suku yang pertama (U1) dilambangkan dengan a. 

     Rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah U_n = a + (n – 1)b, dengan b = U_n – U_n – 1  

      Contoh Soal :

Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …

a.       Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!

b.       Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

a.       Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

U_n   = a + (n – 1)b

U₁₀  = 3 + (10 – 1)5

= 3 + 9 x 5

= 3 + 45

= 48

 U_n   = a + (n – 1)b

        = 3 + (n – 1)5

        = 3 + 5n – 5

        = 5n – 2

b.       Misalkan U_n  = 198, maka berlaku :

U_n  = 198

5n – 2 = 198

5n  = 200

 n = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40

  

B. DERET ARITMETIKA 
       Deret aritmetika disebut juga deret hitung.
      Apabila suku-suku di dalam barisan aritmetika dijumlahkan, maka didapat deret     aritmetika.  Jadi, bentuk baku deret aritmetika adalah a + (a + b) + (a + 2b) + (a + 3b) + ... + (a + (n – 1)b).
     Jika jumlah n suku deret aritmetika dinyatakan dengan Sn. Maka didapat rumus :

  

karena U_n = a + (n – 1)b maka Sn didapat rumus Sn :

 

Contoh soal :

Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika  3 +  5 + 7 + …..

Jawab :

A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :

  S₂₀ = 10( 6 + 19.2)

       = 10 ( 6 + 38)

       = 10 ( 44 }

       = 440

Latihan Soal

1.       Tentukan beda pada setiap barisan aritmetika berikut.

a.       2, 7, 12, 17,……

b.       71, 58, 45, 32,….

c.        1,- 3, -7, -11,….

d.       -10, -7, -4, -1,…

2.       Tulislah lima suku pertama barisan aritmetika yang diketahui salah satu suku dan bedanya berikut ini.

a.       suku ke- 1 = 3 dan beda 6

b.       U₁ = 9 dan b = -4

c.        U₆ = 7 dan b = 4

d.       U₁ = 5  dan U₇ = 41

e.       U₁₉ = 91 dan U₉₁ = 19 

3.       Suatu barisan aritmetika diketahui U₅ = 14, U₈ + U₁₁ = 55, tentukan U₂₀

4.       Suku keberapakah dari barisan aritmetika 172, 166, 160, ……… yang merupakan bilangan positif terkecil?

5.       Tentukan nilai x jika ketiga suku barisan berikut adalah barisan aritmetika:

a.       2x – 1,  5x – 3,  4x + 3

b.       x – 3,  x + 3,  3x

c.        3x² + x + 1,  2x² + x,  4x² – 6x + 1

d.       2x² + 1,  x²,  3x² – 7x – 1

Jawab:

6.       Diantara tiap dua suku yang berurutan dari barisan aritmetika dibawah ini disisipkan 6 buah bilangan sehingga diperoleh barisan aritmetika baru, tentukan beda dan banyaknya suku pad barisan aritmetika tersebut!

a.       1, 50, 99, 148.

b.       3, 8, 13, ……, 58

c.        19, 12, 5, ……, 48

d.       3, 6, 9, ……, 36

7.       Suku pertama dan suku kelima sebuah deret aritmetika adalah 5 dan 11. Hitunglah jumlah 20 suku pertama deret tersebut!

8.       Carilah nilai x jika diketahui jumlah suku-suku deret sebagai berikut:

a.       5 + 7 + 9 + …… + x = 192

b.       4 + 11 + 18 + …… + x = 280

c.        100 + 96 + 92 + …… + x = 0

9.       Seorang karyawan suatu perusahaan setiap tahun menerima tambahan gaji yang besarnya tetap. Pada tahun ke-3 ia menerima gaji Rp. 900.000,00 tiap bulan dan pada tahun ke-5 menerima gaji Rp. 1000.000,00 tiap bulan. Tentukan :

a.       Besarnya gaji yang diterima pada tahun ke-10

b.       Jumlah gaji yang telah diterima selama 10 tahun

10.       Dalam suatu gedung pertemuan , kursi disusun dalam beberapa baris . Baris pertama terdiri 10 kursi , baris berikutnya bertambah 5 kursi dibandingkan dengan baris sebelumnya. Jika pada baris terakhir terdiri 110 kursi, maka tentukan :

a.       Banyaknya baris kursi dalam gedung tersebut

b.       Banyaknya kursi dalam gedung tersebut